چطور با آمار و احتمال خودمان را بفریبیم: کشور میانگینبینها و المپیک تابستانی
اینجا من در مورد موضوعی نوشتم که ذهنم را مدت‌ها به خودش مشغول کرده بود و آن هم این بود که چرا بعضی بازی‌ها اگرچه امیدریاضی شان مثبت است اما دوست نداریم انجامشان بدهیم و به این ترتیب سری «چطور با آمار و احتمال خودمان را بفریبیم» خلق شد!
می‌خواهم از یک چالش ذهنی دیگرم برای شما بنویسم که هنگام خواندن کتاب «پادشکنندگی» برایم بسیار شفاف شد و دلم می‌خواهد آن را با شما در میان بگذارم و آن‌هم در مورد نقاط ضعف و قوت نگریستن به میانگین‌هاست. بنابرین لطفا با من بیایید تا سری به کشور «میانگینبینها» بزنیم. کشوری که مردمش تنها به میانگین‌ها دقت می‌کنند. به معدل‌‌ها، میانگین برتر بودن اقتصادشان در دنیا و میانگین همه چیز.
البته باید دقت کنیم که مردم کشور میانگینبینها از اول این اسم عجیب و غریب را برای کشورشان انتخاب نکرده بودند. آنها پس از آشنایی با میانگین گرفتن بسیار ذوق زده شدند و فکر می‌کردند راه به‌روزی و پیشرفت را پیدا کرده بودند و آن چیزی نبود جز بهبود میانگین‌ها و نگرستن به میانگین همه‌چیز در دنیا.
یکی از مشکلات مردم این کشور ورزش نکردن بود و برای همین مدیران این کشور تصمیم گرفتند با کسب یک مقام خوب در المپیک باعث تشویق مردمشان به ورزش کردن بشوند و از آن‌جا که تنها به میانگین‌ها اهمیت می‌دادند تصمیم گرفتند میانگین رتبه‌ی‌شان از تمام کشورهای دیگر بهتر باشد.
پس از دو سال تلاش و سختی‌کشیدن وزیر ورزش کشور میانگینبینها برای بهبود میانگین رتبهی کشورشان در ورزش‌ها، المپیک سال ۲۰۲۰ برگزار شده است و ورزشکاران کشور میانگینبینها در ۲۸ رشته‌ی المپیک تابستانی شرکت کرده‌اند و میانگین رتبهی آنها در این ۲۸ مسابقه ۵ شده است، یعنی اگر رتبه‌های آنها را در ۲۸ رشته جمع بزنیم و سپس بر ۲۸ تقسیم کنیم به عدد ۵ می‌رسیم. این میانگین بسیار عالی است و در واقع بهترین میانگین در میان میانگین تمام کشورهای دیگر است.( البته فرض کنید که این یک المپیک ساده شده است و در هر رشته تنها یک رتبه‌بندی و یک مدال داریم و بنابراین ۲۸ مدال طلا و ۲۸ مدال نقره و ۲۸ مدال برنز بیشتر نداریم). اما چیزی که موجب حیرت وزیر ورزش کشور میانگینبینها شده بود این بود که آنها هیچ مدالی دریافت نکردند و در واقع یکی از ضعیف‌ترین نتایج را در میان کشورهای دیگر به دست آوردند و مردم کشور از ورزش و ورزشکاری بسیار سرخورده شدند زیرا کاروان آنها بدون هیچ مدالی به خانه برگشت.
اما چرا؟ هیاتی دور یک میز چوبی بزرگ جمع شدند و به بررسی مساله پرداختند. وزیر ورزش بلند شد و عرقش را از روی صورتش پاک کرد و گفت: «آقایان و خانم‌ها، همان‌طور که در جدول‌ها مشاهده می‌کنید ما در تمامی ورزش‌ها رتبهی ۵ را کسب کرده‌ایم و بنابراین میانگین رتبه‌ی‌مان در تمام ورزش‌ها ۵ شده است که در میان تمام کشورها بهترین رتبه است. اما در المپیک تنها به رتبه‌های اول تا سوم مدال اهدا می‌شود. ما اگر مدال می‌خواهیم،باید روی رشته‌هایی که در آنها استعدادهای طبیعی داریم تمرکز کنیم. کاری که من می‌کردم این بود که وقتی در شنا استعداد فوق‌العاده‌ای داشتیم اما در دویدن استعداد کمی داشتیم، بیشتر بودجه را به دو و میدانی اختصاص دادم و بودجه را از شنا گرفتم تا میانگین بهتری خلق شود. من فکر می‌کنم این توجه شدید به میانگین کورکننده شده است. اگر ما در ۱۴ رشته رتبهی اول و در ۱۴ رشته‌ی دیگر رتبهی ۹ را کسب کرده بودیم، الآن ۱۴ مدال طلا داشتیم و یکی از کشورهای پرافتخار این دوره مسابقات بودیم اما باز هم میانگین رتبه‌‌هایمان ۵ بود. من فکر می‌کنم این توجه کور‌کننده‌ی ما به میانگین موجب اشتباهات زیادی در تصمیم‌گیری‌های ما شده است. توزیع رتبه‌هاست که در اینجا تعیین کننده است و نه رتبه‌ها». آرام روی صندلی‌اش نشست. اعضای جلسه با حیرت به او نگاه می‌کردند. انگار فحش یا حرف بدی زده بود. آنها عادت داشتند تنها به میانگین‌ها فکر کنند. یعنی چه که ۱۴ رتبهی یک و ۱۴ رتبهی ۹ با ۲۸ رتبهی ۵ فرق دارد؟ مگر میانگین رتبه‌ها در هر دو یکسان نیست؟
در میان سکوت همه‌ی اعضا، وزیر آموزش و پرورش بلند شد و راست ایستاد و با لحنی محکم و قاطع گفت:«من فکر می‌کنم ما در آموزش و پرورشمان هم همین خطا را مرتکب شده‌ایم، ما تنها به معدل دانش‌آموزان اهمیت می‌دهیم. اما دانش‌آموزی که در درس موسیقی نمره‌ی ۲۰ می‌گیرد و در درس ریاضی نمره‌ی ده، به نظر من آینده‌ی روشن‌تری از دانش‌آموزی دارد که در هر دو درس ۱۵ گرفته است زیرا یکی یک استعداد خارق‌العاده‌‌ی موسیقی دارد که می‌تواند به یکی از نوازنده‌های برتر کشور تبدیل شود و احتمالا نیاز چندانی به استعداد خارق‌العاده در ریاضی ندارد و اما دیگری در هر دو متوسط است و نه نوازنده‌ای مشهور می‌شود و نه استعداد دل‌چسبی در ریاضی دارد که بتواند مهندسی خارق‌العاده شود یا ریاضی‌دانی برجسته. عزیزان، میانگین می‌تواند گمراه‌کننده باشد. زیرا گاهی اوقات وقتی در یک زمینه خارق‌العاده هستی دیگر تنها حداقلی از زمینه‌های دیگر کفایت می‌کند. برای یک موسیقی‌دان برجسته، دانستن ریاضیات در حد جمع و تفریق درآمد کنسرت‌هایش یا زمان رسیدن به کنسرت‌هایش کفایت می‌کند. ما با میانگین‌نگری بسیاری از استعدادهای جوانان را سرکوب کرده‌ایم و احتمالا یک جوان با استعداد موسیقی برجسته را مجبور به کار روی فیزیک و ریاضی کرده‌ایم!»
حالا همه جرات پیدا کرده بودند. یکی از این میگفت که وقتی کشورشان بهترین منابع را برای کشاورزی و توریست دارد چطور با تمرکز بر میانگین‌نگری رتبهی چیزهای مختلف تصمیم گرفته بودند در پوشاک که در آن ضعف داشتند هم وارد شوند و سرمایه‌ی زیادی هدر شده بود و حالا در هیچ‌چیز برجسته نبودند. او میگفت زمانی که کشورشان یک مرکز مهم توریستی بود درآمد زیادی از توریست‌ها داشتند اما وقتی می‌خواستند در زمینه‌ی پوشاک هم وارد شوند اگرچه در هر دو به صورت میانگین بهتر هستند اما درآمدشان کمتر شده است زیرا در هیچ‌چیزی شاخص نیستند. میگفت که سود وقتی در زمینهای بهترین هستی و در زمینهای ضعیف می‌تواند بسیار بهتر از وقتی باشد که در هر دو متوسط هستی.
یکی از اعضا که کمی ریاضی می‌دانست از این صحبت می‌کرد که آنها بسیاری از جاها میانگین تابع چند مقدار را با تابع میانگین چند مقدار اشتباه گرفته‌اند. او میگفت اگر درآمد شخص حاصل کیفیت کار او در چند زمینه باشد درآمد او بیشتر نزدیک به جمع سود حاصل از هر استعدادش است تا سود حاصل از میانگین اسعدادش در زمینه‌های مختلف. در واقع به زبان ریاضی او میگفت که ما خیلی از مواقع توسط میانگین‌ها گمراه شده‌ایم زیرا:
همه برآشفته شده بودند. احساس می‌کردند میانگین به آنها خیانت کرده است. البته احساسشان غلط بود. میانگین تنها یک عملگر ریاضی است و آن تمرکز غلط و درک آنها از ریاضی بود که فکر می‌کردند میانگین یک توزیع می‌تواند خیلی خوب آن را توصیف کند و برای همین همیشه به میانگین‌ها دقت می‌کردند. آنها دقت نداشتند که میانگین همه چیز را بیان نمی‌کند. دقت نداشتند که بهتر است در دو یا سه حیطه بسیار استعداد داشته باشند و در بقیه کاملا معمولی و حتی کمی پایین‌تر از معمولی باشند تا اینکه در کل حیطه‌ها استعداد متوسطی داشته باشند. یکی حاصلش می‌شود یک فرد بسیار مشهور و قوی و دیگری آدمی که در همه چیز متوسط است و معمولی.
چند مورد پراکنده:
۱- به نظرم همین موضوع به صورت منفی هم صادق است. یعنی در بعضی محیط‌ها اگر در میانگین خوب باشیم اما در یک چیز به شدت بلنگیم همان یک چیز می‌تواند بسیار بسیار بد باشد. فرض کنید آزمایش خون داده‌ایم و در همه‌ی موارد بهترین حالت را داریم اما در یک مورد مثلا در مورد چربی وضعیتمان بسیار بسیار بد باشد. همین یک مورد برای زیستن در وضعیت نامناسب سلامتی کافی خواهد بود. برای همین همیشه بحث سود نیست و گاهی باید حواسمان باشد که اگر میانگین مناسب به نظر می‌رسد ممکن است در واقع یک نقطه ضعف بسیار نگران‌کننده داشته باشیم.
۲- می‌توان در مورد خصوصیات توابع و تحدب و تعقرشان و خاصیت میانگین تابع مقادیر و تابع میانگین مقادیر حرف‌های بسیار جالبی زد که در کتاب پادشکنندگی هم بسیار به آن پرداخته شده است و من از خواندنشان بسیار لذت بردم. در واقع در توابع محدب، همیشه میانگین تابع مقادیر بیشتر از تابع میانگین مقادیر است.
۳ -ممنونم که متن مرا خواندید. لطف می‌کنید اگر نظرتان را برایم بنویسید و به من کمک کنید تا متنم دقیق‌تر شود. به نظرتون کجاها میانگین‌نگری کردید وقتی مدل مفیدی نبوده؟
۴- اگر دوست داشتید سری به مطلب من در مورد باز‌های با امیدریاضی مثبت هم بزنید.(اینجا)
متن شما را خواندم. من خودم دانشجوی رشته ی ریاضی هستم (البته ن امار) و کمی با این مفاهیم آشنایی دارم. با تمامیت حرف شما موافقم و فقط چند نکته را خدمتتون عارضم. یک اینکه بسیاری از مواقع امید ریاضی برای این است که نشان دهد بازی عادلانه است یا خیر. یعنی اینکه امید ریاضی برابر صفر شود نشان دهنده ی عادلانه بودن بازی را دارد. برای مثال بازی تخت نرد یا شطرنج را در نظر بگیرید. توقع می رود امید ریاضی برای این دو بازی صفر باشد لذا اولین نکته را بدین عنوان در نظر بگیرید که لزوما از شاخصی چون امیدریاضی برای مصارفی چون شرکت در بازی ای به دلیل امید ریاضی مثبت و در نتیجه (البته نتیجه ای نه لزوما درست) سود بیشتر استفاده نمی شود و به لحاظی این تنها کاربرد این شاخص نیست و حتی می توان گفت که نباید باشد. نکته ی دیگر اینکه قطعا مطمئنم که شما هم از آن اطلاع دارید شاخصی چون میانگین وزنی است. الان رشته های دبیرستانی ریاضی و علوم تجربی و علوم انسانی رو در نظر بگیرید که هر کدوم برای کنکور دارای زیرگروه هایی هستند و هر زیرگروه ضرایبی (وزن هایی) دارد که اتفاقا شاخص خوبی خواهد بود. در نظر بگیرید همان مثال خودتان را که برای کسی که توانایی موسیقی خوبی دارد و توانایی ریاضی کمی دارد. اگر این شخص در رشته ی ریاضی برود که طبیعتا وزن ریاضی بالایی دارد قطعا خود شخص مسیر اشتباهی رفته است ولی اگر در رشته ی هنر برود قطعا وزن دروس ریاضی وی با کمترین حالت ممکن محاسبه می شود. به طور کل شاید میانگین شاخص خوبی نباشد ولی میانگین وزنی (آن هم با احتساب فاکتور های متعدد) بسیار عقلانی است (البته باز به عنوان تنها شاخص و ملاک باز هم کافی نخواهد بود). مثالی می زنم. با دوستانم به جایی رفته بودیم و شیرپسته ای خوردیم که یکی از دوستان من این شیرپسته را با شیرپسته ای دیگر مقایسه می کرد و چنین می گفت که شیرپسته ی اخیر بهتر است. دیگری مخالف بود. من پیشنهاد دادم برای ویژگی های مختلف وزنی قائل شوند. مثلا برای او طعم نسبت به اندازه یا حجم ضریبی چون سه می داشت و لذا اگر شیرپسته ی اخیر را با امتیاز ده در نظر می گرفت (از لحاظ طعم) شیرپسته ی قبلی را امتیازی چون هفت در نظر می گرفت. و اگر شیرپسته ی قبلی از لحاظ اندازه امتیاز ده می گرفت شیرپسته ی اخیر امتیاز شش می گرفت. حال در اینجا میانگین وزنی در صورتی که ضرایب و امتیازات را دو طرف قبول داشته باشند مقایسه ی منطقی ای صورت می گیرد. البته این مقایسه می تواند دارای فاکتور های بیشتری چون کیفیت مواد استفاده شده در محصول را هم در برداشته باشد که این مسئله نیز میانگین وزنی ما را دقیق تر خواهد کرد